Los secretos de Fibonacci -Je,je,je


Los números de Fibonacci, por todos bien conocidos (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55).... conforman la que ha sido siempre una de las sucesiones más sorprendentes y ubicuas de la historia. Como sabemos, el cociente de dos términos consecutivos tiende a phi, el número aureo, que aparece en la naturaleza al observar fenómenos tan dispares como el cuerpo humano, las colmenas de abejas, las espirales, las galaxias... no se trata de numerología, sino de una perla matemática que está ahí, indiferente al tiempo o al espacio. Esta sucesión fue descubierta por Leonardo de Pisa, también conocido por su apodo, Fibonacci. Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII, es de una importancia capital en la historia de la matemática por haber introducido los números arábigos en Europa, además de por descubrir la famosa sucesión que lleva su nombre y escribir varios tratados importantes sobre matemáticas.

Observando los números de la primera linea de este post, vemos que cada término se obtiene como suma de los dos anteriores, lo que matemáticamente se expresa con una relación de recurrencia que toma la siguiente pinta:




Y con esto llego al punto que me interesaba hoy: Imaginemos que queremos hallar el término de Fibonacci que ocupa el lugar cincuenta, o cien; pues bien, todo lo que tenemos que hacer es hallar los dos términos inmediatamente anteriores y sumarlos. No obstante, esto se plantea de forma ciertamente algo engorrosa, pues para hallar esos dos términos anteriores vamos a tener que hallar los dos anteriores, y así sucesivamente; es decir, que si quiero saber el número de Fibonacci de orden n, tendré que hllar primero el de orden 1, 2, 3...n-2, n-1 y hacer la suma de los números de fibonacci de orden n-1 y de orden n-2. De modo, que surge la pregunta de si existe algún modo de hallar los números de fibonacci del orden que sea sin necesidad de calcular los anteriores.
Efectivamente, existe un modo. En términos algo más matemáticos, expresamos esta pregunta diciendo si habrá algún método para definir la sucesión de fibonacci con una fórmula explícita en vez de con una relación de recurrencia.
Los detalles de este método son algo largos y técnicos como para exponerlos en este post, pero, resumiendo mucho, se basa en diagonalizar la matriz de un sistema de ecuaciones (que sale considerando la definición por recurrencia de la sucesión y los valores iniciales), hallando para eso sus autovalores y autovectores (existen otras formas, la que yo conozco es ésta). El resultado de este procedimiento es una función, que toma valores naturales y devuelve naturales, tan sorprendente como esta:


Donde esa especie de "o" tachada es el número phi ([1+V5]/2) Fijaos en lo increible de esta fórmula, repleta de números irracionales y que, sin embargo, nos da una sucesión de números naturales (¡y vaya sucesión!)

Se puede ir aun más allá: podemos extender la sucesión de fibonacci a los reales y obtener una función de una variable real que satisface las propiedades fundamentales de la sucesión original (cada término real f(x) es f(x)=f(x-1)+f(x-2) y se cumple f(0)=0 y f(1)=1)

La función de la que hablo tendría este aspecto:



Como deducir esta función a partir de las propiedades exigidas es algo que, de momento, desconozco, pero comprobar que se adecua a lo pedido es fácil, y se comprueba en media hoja de cuaderno (no teneis mas que sumar los términos (z-1) y (z-2) y vereis que os resulta z, siendo z cualquier real).
.......mucho me dejo en el tintero sobre Fibonacci, pero esas dos funciones tan majas, es de lo más llamativo que oculta esta sucesión.

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